Physics/양자역학50 [양자역학] 2.2 자유 입자 A Free Particle ① 이번 페이지에서는 모든 영역에서 potential이 0인 입자에 대하여 살펴본다. 이러한 입자를 free particle이라고 한다. #1-dimensional Case1차원의 경우 Hamiltonian은$$ H = \frac{P^2}{2m} = -\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2}{dx^2} $$이므로 Eigenvalue equation은$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E \psi(x) $$가 된다. 이 식은 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①의 Eigenvalue equation과 똑같은 형태이다. 그러나 boundary condition이 다르다. Infinite potential well의 경우 bounda.. 2020. 5. 30. [양자역학] 2.1-(1) Example: Quantum Dot의 기초 원리 Quantum dot(양자점,QD)은 나노미터 스케일의 아주 작은 반도체 입자들을 일컬어 부르는 말이다. Quantum dot은 크기가 아주 작기 때문에 생기는 독특한 광학적, 전기적 특성을 가지는데, 가장 잘 알려진 것은 quantum dot에 자외선을 쏘면, quantum dot의 크기에 따라 여러가지 색의 빛이 방출된다는 성질일 것이다. Antipoff / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0) 특히 디스플레이 산업에서 삼성전자가 quantum dot을 이용한 TV를 시장에 출시하면서 과학에 관심없는 사람들도 quantum dot에 대해 관심을 가질 정도로 핫한 이슈이기도 했다. 이번 페이지에서는 입자가 빛을 방출하는 기초적인 원리와 .. 2020. 5. 15. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ⑤ 지금까지 1차원 infinite potential well에 갇혀있는 입자를 양자역학에서 어떻게 기술하는지 살펴보았다. 이제 3차원 box에 갇혀있는 입자 1개를 어떻게 기술하는지 살펴보자. #Time Independent Schrödinger Equation먼저 3차원 box의 potential은 다음과 같이 주어진다.$$ V(x,y,z) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{if }0 2020. 5. 13. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ④ 이전 페이지까지 양자역학의 기본 개념들에는 시간에 대한 변화를 포함하고 있지 않다. 이제 양자역학에서 물리적 시스템의 시간에 대한 변화를 어떻게 기술하는지 살펴보자. #Time Dependent Schrödinger Equation 양자역학에서 시간에 대한 변화를 기술하기 위해서는 time dependent Schrödinger equation이 필요하다. SUPPLEMENT Time Dependent Schrödinger Equation $$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi(t) \right\rangle = H \left| \psi (t) \right\rangle $$ 일단, infinite potential well에서 시간에 대하여 변하는 wave function \(\le.. 2020. 5. 13. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다. #Expectation Value of Observables 확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고) DEFINITION Expectation Value 사건 X의 가능한 결과값 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), ... 이면, 결과의 expectation value(기대값)을 다음과 같이 정의한다. $$ E[X] = \sum _{.. 2020. 5. 9. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ② 잠시 Newton 역학에서 경사를 내려가는 물체 문제를 생각해보자. Mets501 / CC BY-SA 물체에 작용하는 힘은 중력과 수직항력이다. 중력은 $$ \vec{F}_\mathrm{grav} = -mg ~\hat{y} $$ 중력을 다시 경사면에 평행한 vector와 수직인 vector로 분리하면 $$ \vec{F}_\mathrm{grav} = -mg \cos \theta ~\hat{e}_1 + -mg \sin \theta ~\hat{e}_2 $$ 이 때, 수직항력은 중력을 경사면에 수직인 vector로 분리한 크기와 같으므로, net force는 $$ \vec{F}_\mathrm{net} = -mg \sin \theta ~ \hat{e}_2 $$ 가 된다. 문제를 풀어가는 방법들을 살펴보면, 일반적.. 2020. 5. 9. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ① 양자역학을 배울 때 가장 처음으로 만나게 되는 a particle in a box 문제를 미분방정식과 선형대수학 관점에서 살펴보고 이들이 어떻게 연결되어 있는지 살펴보자. #Infinite Potential Well Problem 가장 쉬운 문제는 1-dimensional box 문제일 것이다. 질량이 \(m\)인 입자 한개가 \(0 2020. 5. 8. [양자역학] 1.5-(2) 에렌페스트 정리 Ehrenfest's Theorem 양자역학은 고전역학적으로 설명이 잘 안되는 작은 입자의 세계를 설명하기 위해 사용되는데, 큰 입자 스케일에서 양자역학은 고전역학으로 근사될 수 있다. 이러한 사실은 다음과 같은 정리로 표현된다. THEOREM Ehrenfest's Theorem (Generalized) Hamiltonian operator \(H\)와 normalized state vector이 주어진 물리적 시스템에 대하여 observable \(A\) 는 다음이 성립한다.$$ \frac{d}{dt} \left\langle A \right\rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle [H,A] \right\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\r.. 2018. 10. 27. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음