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양자역학46

[양자역학] 1.5 슈뢰딩거 방정식 Schrödinger Equation (공백)4. State vector \(\left| \psi \right\rangle\) 은 시간에 대하여 Schrödinger equation을 따른다. ( \(H\) 는 시스템의 Hamiltonian operator)$$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi \right\rangle = H \left| \psi \right\rangle $$ 물리학의 궁극적인 목표는 시간 \(t_0\) 에서 어떤 물리적 시스템이 주어져 있을 때, 이 시스템이 시간에 따라서 어떻게 변하는지 구하는 것이다. 고전역학에서는 \(t_0\) 에서 phase space의 좌표 \((x_0,p_0)\) 와 Hamiltonian \(\mathcal{H}(x,p)\)가 주어졌을 때, 그 시스템은 Hamilton e.. 2018. 10. 27.
[양자역학] 1.4-(3) Example: 하이젠베르크의 불확정성 원리 Heisenberg's Uncertainty Principle 양자역학에서 가장 유명한 결론 중 하나는 하이젠베르크의 불확정성 원리일 것이다. 입자의 위치와 운동량을 동시에 측정할 때, 둘 사이의 정확도에는 물리적 한계가 존재한다. 불확정성 원리는 수식으로 다음과 같이 표현된다.$$ \left( \Delta X \right) \left( \Delta P \right) \ge \frac{\hbar}{2} $$ #General Uncertainty Principle이를 일반화하면 다음과 같이 정리된다. THEOREM Heisenberg's Uncertainty Principle 두 개의 observable \(A\) , \(B\) 가 다음과 같이 commute하지 않다고 하자.$$ \left[ A,B \right] = iC $$( \(C\) 는 non-zero Herm.. 2018. 10. 27.
[양자역학] 1.4-(2) 측정의 기대값 Expectations of Measurements 양자역학에서 측정 결과는 확률적으로 나오기 때문에, 확률론에 따라 expectation(기대값)과 variance(분산)을 계산할 수 있다. #Expectations of ObservablesObservable \(L\)에 대하여, eigenvalue가 \(l_1\) , \(l_2\) , ... , \(l_n\) 이 가능하고, 각각의 orthonormal eigenvector를 \(\left| l_i \right\rangle\) 로 표현하자. 임의의 normalized state vector \(\left| \psi \right\rangle\)이$$ \left| \psi \right\rangle = \sum_{j=1} ^n ~a_j ~\left| l_j \right\rangle $$과 같이 표현된다고 하.. 2018. 10. 27.
[양자역학] 1.3 측정 가능한 물리량, 파동함수 Observables, Wave Functions (공백) 2. 물리적인 값의 측정은 hermitian operator로 표현되며, 측정값은 이 operator에 대한 eigenvalue만 가능하다. (공백) Hermitian operator는 inner product를 이용하여 정의되는 linear operator이다. Hermitian operator의 eigenvalue는 항상 실수값을 갖는다. 따라서 두번째 공리는 물리적 측정값은 항상 실수값으로 나온다는 뜻이 된다. Hermitian operator의 또 다른 특징은 eigenvector들이 vector space의 basis를 이룬다는 것이다. 즉, Hermitian operator는 diagonalizable하다. 양자역학에서는 Hamiltonian operator나 momentum oper.. 2018. 10. 10.
[양자역학] 1.1 양자역학 기본 가정 The Postulates of Quantum Mechanics 물리 현상을 기술한다는 것은 기술하고자 하는 물리적 시스템과 상태(states), 시스템의 상태를 대표해주는 관측값(observables), 그리고 시간의 변화에 따른 상태의 변화(dynamics)를 밝히는 것을 말한다. 따라서 양자역학적으로 물리 현상을 기술하기 위해서는 states, observables, dynamics가 양자역학에서 어떻게 표현되는지 먼저 알아야 한다. 이번 페이지에서는 양자역학의 기본 가정을 살펴보고 이를 통해 물리 현상이 어떻게 기술되는지를 살펴본다. #The Postulates of Quantum Mechanics양자역학이 state, observable, dynamics를 기술하는 방식을 고전역학에서 기술하는 방식과 비교해 보면 다음과 같이 정리된다. (몇몇 개념들은 수학적.. 2018. 10. 9.
[양자역학] PRE. Mathematical Introduction 양자역학을 배우는 방식은 교재마다, 역사적인 순서를 따라 흑체 복사, 광전 효과, 파동-입자 이중성, 보어 모형, 슈뢰딩거 방정식을 순차적으로 소개하는 방식을 선택하기도 하고, 양자역학의 공리로부터 이론을 전개하는 방식을 선택하기도 한다. 주로 역사적인 순서를 따르는 방식은 양자역학의 특이한 현상을 소개하고 설명하기에는 유리하지만, 이론 자체를 이해하기에는 공리로부터 시작하는 것이 더 유리하다. 본 블로그에서는 양자역학의 공리에서 시작하여 쉬운 모형부터 점차 어려운 모형까지 살펴볼 것이다. 본격적인 논의에 들어가기에 앞서, 양자역학의 이론을 전개하기 위해서는 선형대수학 개념들이 필요하다. 특히 양자역학에서 중요한 개념들을 아래에 소개한다. 1. Vector, Basis Expansion, Matrix R.. 2018. 10. 6.

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