양자역학46 [양자역학] 4.6 수소 원자 The Hydrogen Atom 수소 원자는 현실적인 물리 시스템 중 Schrödinger equation을 풀 수 있는 거의 유일한 예제이다. 또한 양자역학적 해석이 Bohr 모형보다 더 자세한 원자의 구조를 보여주며 그 결과를 이용하여 더 복잡한 원자나 분자 시스템을 분석하는 도구로 활용된다. 이번 페이지에서는 수소 원자의 Schrödinger equation과 그 solution에 대하여 살펴본다. #Schrödinger Equation of Hydrogen Atom수소 원자는 \(+e\) 전하를 띄는 양성자 1개와 \(-e\) 전하를 띄는 전자 1개로 이루어진 원자이다. 원자의 스펙트럼, 분자 구조 등은 전자의 에너지와 관련되어 있으므로 우리는 전자에만 집중한다. 전자에 작용하는 potential energy는 양성자에 전하에 .. 2020. 7. 19. [양자역학] 4.5 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ② 이번 페이지에서는 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①의 방법을 이용하여 angular momentum operator와 state vector를 행렬로 표현해 보자. #Angular Momentum일단 지난 페이지들의 내용들을 정리하자. 먼저 angular momentum operator들의 commutator는 다음과 같다.$$ [L^2, L_x] = [L^2, L_y] = [L^2, L_z] = 0 $$$$ \begin{align*} [L_x, L_y] &= i\hbar L_z & [L_y, L_z] &= i\hbar L_x & [L_z, L_x] &= i\hbar L_y \end{align*} $$commutator가 0이 아.. 2020. 7. 18. [양자역학] 4.4 구면 조화 함수 Spherical Harmonics 지난 몇 페이지에서 angular momentum의 미분연산자 형태$$ \begin{align*} L_x &= -i\hbar \left( -\sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta \cos\phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \\ L_y &= -i\hbar \left( \cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \\ L_z &= -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} \end{align*} $$와 eigenvalue equation$$ \.. 2020. 7. 11. [양자역학] 4.3 사다리 연산자 Ladder Operators Angular momentum operator들의 commutation relation $$ \begin{align*} [L_x,L_y] &= i\hbar L_z \\ [L_y,L_z] &= i\hbar L_x \\ [L_z,L_x] &= i\hbar L_y \\ [L^2,L_x] = [L^2,L_y] &= [L^2,L_z] = 0 \end{align*} $$ 이므로 세 성분을 모두 동시에 측정할 수 없고, \(L^2\)와 한 성분만 동시에 측정할 수 있다. 보통 $$ L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} $$ 로 하나의 변수에 대한 미분연산이 되므로 \(L^2\)와 \(L_z\)를 동시에 측정할 수 있는 operator로 선택한다. \(L^2\)와 \(L_z\.. 2020. 6. 25. [양자역학] 4.2 동시 측정 Simultaneous Measurements: Compatible Observables 고전역학에서 중력이나 전기장 같은 central force 하에서 물체의 energy를 구하기 위해 angular momentum의 성분 \(l_x\), \(l_y\), \(l_z\)를 알면, \(l^2\)를 알 수 있으므로 energy를 구할 수 있다. 그러나 양자역학에서는 angular momentum의 세 성분을 동시에 측정하는 것이 불가능하다. 이는 Heisenberg's uncertainty principle에서 position과 momentum을 동시에 정확히 측정하는 것이 불가능하다는 것과 동일한 이유이다. 어떤 observable(측정가능한 물리량)들은 이런 식으로 동시에 측정하는 것이 불가능한가 하면, 어떤 observable들은 동시에 측정하는 것이 가능하다. 예를 들어, 2.2 자유 .. 2020. 6. 25. [양자역학] 4.1 각운동량 연산자 Angular Momentum Operators Angular momentum에 대한 이론은 대학원 양자역학 수업의 절반을 차지할 정도로 중요한 주제이다. 또한, --classical, Noether theorem--에서 본 것과 같이 spherical symmetry를 가진 시스템은 angular momentum이 보존된다는 점으로부터 양성자의 Coulomb potential 하에서 전자의 운동으로 표현되는 수소 원자를 푸는데도 사용이 된다. 이번 페이지부터 angular momentum에 대한 양자역학 이론을 살펴본다. #Angular Momentum Operators고전적으로 angular momentum은$$ \vec{l} = \vec{r} \times \vec{p} $$로부터$$ \begin{align*} l_x &= y p_z - z p_y.. 2020. 6. 24. [양자역학] 3.7-(2) Example: 광자 Photon, introduction to quantum field theory 고전적 전자기학에 따르면 scalar potential \(\phi(\mathbf{r},t)\)는 wave equation을 따른다.$$ \left(\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 \right) \phi(\mathbf{r},t) = 0 $$이번 페이지에서는 scalar potential의 양자역학적 표현을 살펴본다. #Classical Field Theory다음과 같이 주어진 Lagrangian density $$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - \frac{1}{2}c^2 \sum_i \left(\frac{\partial \phi}{.. 2020. 6. 22. [양자역학] 3.7-(1) Example: 포논 Phonon, a chain of harmonic oscillators 여러 입자가 모여 형성된 고체 또는 액체의 물리적 성질에 대해서 연구하는 물리학의 한 분야를 condensed matter 분야라고 한다. 반도체, 양자컴퓨터 등 다양한 분야에서 응용된다. Condensed matter는 여러 입자가 모인 시스템을 연구하기 때문에, 입자 하나를 기술하는 것보다 훨씬 복잡한 구조를 필요로 하며, 결과적으로 입자 하나가 보여주는 현상보다 더 다양한 현상들이 나타난다. 이번 페이지에서는 condensed matter에서 고체의 vibration을 표현하는 기초적인 방법을 살펴본다. #Normal Coordinates3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator 도입부에 설명한 것처럼 고체에서 입자의 진동과 같이 stable한 potential은$$ V(x) \appro.. 2020. 6. 20. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
