양자역학46 [양자역학] 5.4 보존, 페르미온 Bosons, Fermions 동일한 입자들의 구별 불가능성은 양자역학이 고전역학과 구별되는 아주 큰 특징 중 하나이다. 이번 페이지는 동일한 입자의 구별 불가능성에 대하여 알아보고, 보존과 페르미온에 대하여 살펴본다. #Indistinguishable Identical Particles양자역학과 고전역학을 비교하기 위하여 다음과 같은 상황을 생각해보자. 1번 투수와 2번 투수가 완전히 같은 질량, 같은 크기, 같은 표면의 공을 각각 4번 포수, 3번 포수를 향해 던질 때 가운데서 충돌이 일어난 후 포수가 공을 잡는 상황이다. 이제 이 상황을 고전역학적으로 분석을 해보자. 고전역학에서는 모든 입자는 항상 구별이 가능하다. 즉 충돌이 일어나기 전, 충돌 상황, 충돌이 일어난 후 모든 시간의 공의 위치와 운동량을 추적하면 충돌 후 3번 .. 2020. 9. 17. [양자역학] 5.3 입자 2개의 질량 중심 운동 기술 Center of Mass Description of 2-Particle System 2입자 시스템의 포텐셜이 Coulomb potential과 같이 입자 사이의 거리에만 영향을 받는 경우에는 center of mass 좌표 체계를 이용하여 독립적인 2개의 좌표로 표현할 수 있다. #Center of Mass고전적 Hamiltonian이\[ H = \frac{p_1}{2m_1} + \frac{p_2}{2m_2} + V(\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \]인 경우 다음과 같이 새로운 좌표를 구성하자.\[ \mathbf{R} = \frac{m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2}{m_1+m_2} \]\[ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 \]\(\mathbf{R}\) 은 center of mass, \(\ma.. 2020. 9. 16. [양자역학] 5.2 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ③ 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ①과 4.5 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ②에서 살펴본 방법을 이용해 2-입자 시스템의 행렬 표현을 살펴본다. 특히, 1-입자 시스템의 행렬 표현으로부터 2-입자 시스템의 행렬 표현을 얻는 방법에 대하여 살펴본다. #1-입자 시스템의 행렬 표현 정리1-입자 시스템의 Hamiltonian \(H\) 에 대하여, eigenvector \(|\phi_n\rangle\) 은 파동함수의 basis 벡터가 된다. 따라서 임의의 파동함수 \(f\) 가 \[ |f\rangle = \sum_{i} c_i ~|\phi_i\rangle \]로 전개되는.. 2020. 8. 15. [통계역학] 2.1 보존 기체, 페르미온 기체 Boson Gas, Fermion Gas 1.1-(1) Example: 이상 기체, 기브스 역설 Ideal Gas, Gibbs Paradox에서 microcanonical ensemble을 이용하여 이상 기체에 대한 열역학 변수 \(S\), \(P\), \(C_v\) 등에 대하여 살펴보았다. 그러나 이 설명은 매우 높은 온도, 낮은 입자 밀도로 특징되는 classical limit에서만 성립한다. 즉, 각 입자의 에너지가 겹치는 경우가 거의 없는 경우에 성립하는 설명이다. 만약 온도가 낮고 높은 입자 밀도가 되는 경우에는 입자의 에너지가 겹칠 가능성이 높아지므로 양자역학적 성질이 중요하게 작용한다. 이번 페이지에서는 입자간 상호작용이 없는 이상기체에 대한 양자역학적 설명을 살펴본다. #Weight Factor양자역학 이론에 의하면, 입자는 스핀.. 2020. 8. 15. [양자역학] 5.1 입자가 2개인 시스템 2-Particle System 이번 페이지에서 서로 상호작용이 없는 2개의 입자를 통해, 입자 1개의 이론에서 입자 여러개의 이론을 발전시켜 본다. #Schrödinger Equation of 2-Particle System in 1-D Box질량이 \(m_1\)인 입자를 1번 입자 , \(m_2\)인 입자를 2번 입자라고 하고, 1번 입자의 position을 \(x_1\), momentum을 \(p_1\), 2번 입자의 position과 momentum을 각각 \(x_2\), \(p_2\)라고 하자. 이 시스템의 파동함수는 1번 입자와 2번 입자를 모두 표현할 수 있어야 하므로 \(x_1\)과 \(x_2\)의 함수가 된다고 할 수 있다.\[ \text{(wave function)} \longrightarrow \Psi(x_1,x_2.. 2020. 7. 26. [양자역학] 4.8 유니터리 연산자 Unitary Operators 지난 페이지에서는 spin과 spin의 행렬 표현을 살펴보았다. 특히, \(S_x\) 의 eigenvector와 \(S_z\) 의 eigenvector를 basis로 하였을 때 행렬 표현을 논의하였다. 그러나 \(S_x\) 의 eigenvector 역시 basis 역할을 할 수 있다. 이번 페이지에서는 basis를 변환했을 때 행렬 표현이 어떻게 바뀌는지 살펴보자. #Matrix Representations먼저 \(S_z\)의 eigenvector \(|\uparrow\rangle\) , \(|\downarrow\rangle\) 를 basis로 하였을 때, \(S_x\), \(S_y\), \(S_z\) 는 다음과 같이 구했다.\[ \begin{gather*} [S_x]=\begin{bmatrix} 0 &.. 2020. 7. 26. [양자역학] 4.7 스핀 Spin 전자, 중성자, 양성자 등과 같은 기본 입자들은 spin(스핀)이라는 특성을 가지고 있다. Spin은 이름으로부터 입자가 자전하는 느낌을 주지만, 기본 입자들은 점입자로 취급되기 때문에 자전하는 것을 기술할 수 없다. 고전역학적인 기술을 할 수는 없지만, 다행히 spin은 양자역학적 angular momentum으로 기술된다. 이번 페이지에서는 전자의 spin에 대하여 살펴본다. #SpinSpin은 양자역학적으로 angular momentum과 같기 때문에 angular momentum의 특성들을 공유한다. Spin을 다룰 때는 angular momentum의 \(L\) 대신 \(S\)를 사용한다. Spin operator \(S^2\)와 x, y, z축 spin operator \(S_x\), \(S_.. 2020. 7. 21. [양자역학] 4.6-(1) 원자 오비탈 Atomic Orbital 이번 페이지에서는 수소 원자의 전자 에너지 레벨과 관련된 내용을 살펴본다. #Degenerate Energy Level지난 페이지에서 수소 원자 Hamiltonian operator의 eigenvalue\[ E = -\frac{me^4}{32\pi^2 \varepsilon_0 ^2 \hbar^2} \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} ~\text{eV} \]에 대한 eigenvector \(|n,m,l,s\rangle\) 의 quantum number \(n\), \(m\), \(l\), \(s\) 의 값들이 다음의 조건을 만족해야 함을 살펴보았다. ① principal quantum number \(n\) : 1, 2, 3, .... ② azimuthal quantum numbe.. 2020. 7. 20. 이전 1 2 3 4 5 6 다음
