양자역학46 [양자역학] 3.6 양자역학의 행렬 표현 Matrix Representation of Quantum Mechanics ① 이번 페이지에서는 양자역학의 선형대수학적 구조를 가장 잘 표현할 수 있도록 wave function과 operator를 행렬로 표현할 것이다. 자세한 증명은 [선형대수학] 1.4 Coordinate Representation과 [선형대수학] 2.5 Representations of Linear Transformations 참고할 것. #Matrix Representation of Wave Functionswave function \(f\)가 Hamiltonian \(H\)의 eigenvector \(| n \rangle\)$$ H ~|n\rangle = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega ~|n\rangle ~~,~~ n=0,1,2,3,\cdots $$들로 다음과.. 2020. 6. 19. [양자역학] 3.5 생성자, 소멸자 Creation and Annihilation Operators Harmonic oscillator의 energy level을 구하기 위해 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator에서 Schrödinger equation$$ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \right) \psi(x) = E\psi(x) $$의 해를 구했다. 그러나 미분방정식이 아닌 linear operator를 통해 energy level과 eigenvector 구조를 구할 수 있다. 이번 페이지에서는 linear operator를 통해 Harmonic oscillator를 풀어보자. #Creation Operators #Annihilation Operators고전적 Harmonic oscilla.. 2020. 6. 18. [양자역학] 3.4 에르미트 연산자 Hermitian Operators 이번 페이지에서는 linear operator의 Hermitian adjoint에 대하여 살펴본다. Hermitian adjoint 역시 양자역학을 공부하는데 반드시 필요한 개념이다. DEFINITION Hermitian Adjoint of Linear Operators Linear operator \(T\)에 대하여$$ \left\langle f | T(g) \right\rangle = \langle T^\dagger (f) | g \rangle $$를 만족하는 linear operator \(T^\dagger\)가 존재하는 경우 \(T^\dagger\)를 \(T\)의 Hermitian adjoint라고 부른다. Hermitian adjoint에는 다음과 같은 성질이 있다. THEOREM Propert.. 2020. 6. 18. [양자역학] 3.3 교환자 Commutator 이번 페이지에서는 앞으로 양자역학 이론의 전개에 필요한 수학적 개념인 commutator에 대하여 알아본다. #Commutator of OperatorsCommutator는 다음과 같이 정의된다. DEFINITION Commutator of Operators wave function에 작용하는 operator \(A\)와 \(B\)에 대하여 다음의 연산을 \(A\)와 \(B\)의 commutator라고 한다.$$ [A,B] = AB - BA $$ 이 연산을 정확히 이해하기 위해서 먼저 operator에 대해서 이해해야 한다. operator는 함수를 받아서 새로운 함수를 내놓는 연산을 말한다. 예를 들어, position operator \(X\)는 함수 \(f\)에 작용하여 원래 함수에 \(x\)를 곱.. 2020. 6. 17. [양자역학] 3.2 에르미트 다항식 Hermite Polynomials 지난 페이지에서는 harmonic oscillator의 energy가$$ E=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar\omega ~~~~,~~~~ n=0,1,2,\cdots $$만 가능하다는 것을 살펴보았다. 이번 페이지에서는 Hamiltonian operator의 eigenvector에 대하여 알아본다. #Hermite Polynomials지난 페이지에서$$ u(y) = C_0 \left[ 1 + \frac{1-2\epsilon}{2\cdot 1}y^2 + \frac{1-2\epsilon}{2\cdot 1}\frac{5-2\epsilon}{4\cdot 3} y^4 + \cdots \right] + C_1 \left[y + \frac{3-2\epsilon}{3\cdot 2}y^3 + \.. 2020. 6. 16. [양자역학] 3.1 조화진동자 Harmonic Oscillator Harmonic Oscillator(조화진동자)는 물리이론에서 고체의 진동 등을 기술하는데 있어 중요한 기초가 된다. 일반적인 potential \(V(x)\)가 \(x_0\)에서 stable하다면, \(V(x)\)의 Taylor series$$ V(x) = V(x_0) + \frac{d}{dx}V(x_0) ~(x-x_0) + \frac{1}{2!}\frac{d^2}{dx^2}V(x_0) ~(x-x_0)^2 + \cdots $$에서 \(V(x_0)\)는 상수이므로 물리적 의미가 없고, \(\frac{d}{dx}V(x_0)\)는 stable이므로 0이기 때문에 \(x\)가 \(x_0\) 근처에 있는 경우 2차항으로 근사하여$$ V(x) \approx \frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}V(x_.. 2020. 6. 16. [양자역학] 2.2-(2) Example: 양자 터널링 Quantum Tunnelling 이번 페이지에서는 finite potential 벽에 대하여 Schrodinger Equation을 풀어보고, 양자역학의 중요한 결론인 quantum tunnelling(양자 터널링)에 대하여 알아본다. finite potential 벽$$ V(x) = \left\{ \begin{array}{ccl} V_0 & , & 0 2020. 6. 15. [양자역학] 2.2-(1) Example: 파동 패킷 Wave Packet Free particle의 plane wave \(\psi(x) = e^{\frac{i}{\hbar}px}\)는 Hamiltonian operator의 eigenvector이지만, probability density fucntion이$$ \psi ^\ast (x) \psi (x) = e^{-\frac{i}{\hbar}px}e^{\frac{i}{\hbar}px} = 1 $$즉, 모든 공간에 걸쳐 확률이 균일하게 퍼져있기 때문에, 일정한 공간에서 찾을 확률이 높은 입자의 특성을 표현하기에는 적합하지 않다. 따라서 입자의 위치를 표현하기 위해서는 plane wave를 중첩하여 확률이 작은 영역에 몰려있는 wave function을 사용하는데 이 wave function을 wave packet이라고 한다. 이번.. 2020. 6. 13. 이전 1 2 3 4 5 6 다음