양자역학46 [양자역학] 2.2 자유 입자 Free Particle ② Momentum operator의 eigenvector \(\left| k \right\rangle = e^{ikx}\)는, 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ②에서 Hamiltonian operator의 eigenvector들처럼 wave function들의 basis가 된다. 따라서 일반적인 wave function을 \(\left| k \right\rangle\)들로 나타낼 수 있다. #Dirac Delta FunctionInfinite potential well에서 핵심이 되었던 것은 eigenvector들이 서로 orthogonal하다는 것이었다.$$ \left\langle n \left. \right| m \right\rangle = \left\{ \begin{array.. 2020. 6. 12. [양자역학] 2.2 자유 입자 A Free Particle ① 이번 페이지에서는 모든 영역에서 potential이 0인 입자에 대하여 살펴본다. 이러한 입자를 free particle이라고 한다. #1-dimensional Case1차원의 경우 Hamiltonian은$$ H = \frac{P^2}{2m} = -\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2}{dx^2} $$이므로 Eigenvalue equation은$$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E \psi(x) $$가 된다. 이 식은 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ①의 Eigenvalue equation과 똑같은 형태이다. 그러나 boundary condition이 다르다. Infinite potential well의 경우 bounda.. 2020. 5. 30. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ⑤ 지금까지 1차원 infinite potential well에 갇혀있는 입자를 양자역학에서 어떻게 기술하는지 살펴보았다. 이제 3차원 box에 갇혀있는 입자 1개를 어떻게 기술하는지 살펴보자. #Time Independent Schrödinger Equation먼저 3차원 box의 potential은 다음과 같이 주어진다.$$ V(x,y,z) = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{if }0 2020. 5. 13. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ④ 이전 페이지까지 양자역학의 기본 개념들에는 시간에 대한 변화를 포함하고 있지 않다. 이제 양자역학에서 물리적 시스템의 시간에 대한 변화를 어떻게 기술하는지 살펴보자. #Time Dependent Schrödinger Equation 양자역학에서 시간에 대한 변화를 기술하기 위해서는 time dependent Schrödinger equation이 필요하다. SUPPLEMENT Time Dependent Schrödinger Equation $$ i\hbar \frac{d}{dt} \left| \psi(t) \right\rangle = H \left| \psi (t) \right\rangle $$ 일단, infinite potential well에서 시간에 대하여 변하는 wave function \(\le.. 2020. 5. 13. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ③ 이전 페이지에서는 일반적인 wave function에서 에너지를 측정하면, 가능한 에너지마다 확률을 구할 수 있다는 것을 설명했다. 각각의 에너지값과 확률이 주어지면, 에너지의 기대값을 구할 수 있다. #Expectation Value of Observables 확률론에서 기대값은 다음과 같이 정의된다. (자세한 내용은 [통계학] 2.2 기대값 Expected Values 참고) DEFINITION Expectation Value 사건 X의 가능한 결과값 \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), ... 에 대하여 각각 일어날 확률이 \(p_1\), \(p_2\), \(p_3\), ... 이면, 결과의 expectation value(기대값)을 다음과 같이 정의한다. $$ E[X] = \sum _{.. 2020. 5. 9. [양자역학] 2.1 상자 속 입자 A Particle in a Box ② 잠시 Newton 역학에서 경사를 내려가는 물체 문제를 생각해보자. Mets501 / CC BY-SA 물체에 작용하는 힘은 중력과 수직항력이다. 중력은 $$ \vec{F}_\mathrm{grav} = -mg ~\hat{y} $$ 중력을 다시 경사면에 평행한 vector와 수직인 vector로 분리하면 $$ \vec{F}_\mathrm{grav} = -mg \cos \theta ~\hat{e}_1 + -mg \sin \theta ~\hat{e}_2 $$ 이 때, 수직항력은 중력을 경사면에 수직인 vector로 분리한 크기와 같으므로, net force는 $$ \vec{F}_\mathrm{net} = -mg \sin \theta ~ \hat{e}_2 $$ 가 된다. 문제를 풀어가는 방법들을 살펴보면, 일반적.. 2020. 5. 9. [양자역학] 1.5-(2) 에렌페스트 정리 Ehrenfest's Theorem 양자역학은 고전역학적으로 설명이 잘 안되는 작은 입자의 세계를 설명하기 위해 사용되는데, 큰 입자 스케일에서 양자역학은 고전역학으로 근사될 수 있다. 이러한 사실은 다음과 같은 정리로 표현된다. THEOREM Ehrenfest's Theorem (Generalized) Hamiltonian operator \(H\)와 normalized state vector이 주어진 물리적 시스템에 대하여 observable \(A\) 는 다음이 성립한다.$$ \frac{d}{dt} \left\langle A \right\rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle [H,A] \right\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t} \right\r.. 2018. 10. 27. [양자역학] 1.5-(1) 슈뢰딩거 묘사, 하이젠베르크 묘사, 상호작용 묘사 Schrödinger, Heisenberg, Interaction Picture Hamiltonian operator \(H\) 가 시간에 independent한 경우, 시간 \(t=0\) 에서 state vector가$$ \left| \psi(0) \right\rangle = \sum_j a_j(0)~\left| E_j \right\rangle $$로 주어지면 state vector는 시간에 따라$$ \left| \psi(t) \right\rangle = \sum_j a_j(0)~e^{-\frac{i}{\hbar}E_jt} ~\left| E_j \right\rangle $$로 변화한다. Exponential 함수는 무한급수$$ e^x = \sum_{k=0} ^\infty \frac{x^k}{k!} $$로부터$$ \begin{eqnarray*} e^{-\frac{i}{\hbar}E_.. 2018. 10. 27. 이전 1 2 3 4 5 6 다음